Indukční cívka ve střídavém obvodu stručně – vzorce a definice (stupeň 11)

V stejnosměrném obvodu se induktor chová stejně jako obyčejný dlouhý drát. U střídavého proudu je však situace výrazně odlišná. Pojďme si krátce promluvit o induktoru v obvodu střídavého proudu.

Podstata indukční reaktance

Z kurzu fyziky v 11. ročníku je známo, že indukční cívka je charakterizována jevem samoindukce. Spočívá v tom, že při změně velikosti proudu procházejícího cívkou se mění i magnetické pole generované tímto proudem. To způsobí změnu magnetického toku cívkou. A podle zákona elektromagnetické indukce způsobuje změna magnetického toku vzhled emf v obvodu. Toto EMP je podle Lenzova pravidla nasměrováno tak, aby zasahovalo do příčiny, která jej generuje. Jinými slovy, když se v induktoru změní proud, vznikne v něm určité EMF, které zabrání změně tohoto proudu.

Ukazuje se, že cívka „odolává“ jakýmkoli změnám proudu v ní. Pokud se proud zvýší, nedovolí mu to zvýšit. Pokud proud klesá, nedovolí mu klesnout. U střídavého proudu, který neustále mění svou hodnotu podle harmonického zákona, cívka neustále „odolává“. U střídavého proudu tedy můžeme mluvit o speciálním, indukčním, odporu cívky (při stejnosměrném proudu je tento odpor nulový).

Tento odpor se výrazně liší od aktivního odporu. Pokud se při činném odporu přemění práce proudu na teplo, tak při odporu cívky se při nárůstu proudu jeho práce přemění na energii magnetického pole v cívce a při poklesu se přemění práce proudu na teplo při aktivním odporu z magnetického pole se vrací do energie proudu. Zdá se, že cívka „reaguje“ na změnu proudu procházejícího v důsledku indukčnosti. Proto se takový odpor nazývá reaktivní.

Reaktance induktoru

Protože v první polovině periody je energie elektrického proudu uložena v magnetickém poli cívky a ve druhé polovině je vrácena zpět do obvodu, pak je v průměru práce elektrického proudu rovna velikosti práce samoindukčního emf, ale má opačné znaménko:

Hodnoty amplitudy napětí a proudu na induktoru však nejsou dosaženy současně.

Okamžitá aktuální hodnota:

$$i =I_msin omega t$$

Okamžitá hodnota napětí:

$$u =Lomega I_m cos omega t$$

Uvážíme-li, že maximální amplituda napětí $U_m$ je rovna $Lomega I_m$ a redukujeme na sinus, získáme:

Kolísání proudu v induktoru tedy zaostává za kolísáním napětí o čtvrtinu periody. To je důležitý rozdíl mezi reaktancí a aktivním odporem, kde není žádné zpoždění mezi proudem a napětím.

Amplituda proudu v cívce je rovna:

Porovnejme tento vzorec s Ohmovým zákonem, který se používá k určení síly proudu v obvodu:

Je vidět, že tyto vzorce jsou podobné a hodnota $omega L$ hraje roli odporu. To znamená, že reaktance induktoru (indukční reaktance) je rovna:

Všimněte si, že reaktance cívky je přímo úměrná cyklické frekvenci střídavého proudu. Čím větší, tím větší odpor.

Protože jakýkoli vodič má určitou indukčnost, při velmi vysokých frekvencích i tato malá indukčnost běžných vodičů má na signál poměrně silný vliv. K jeho kompenzaci je proto nutné uplatnit zvláštní opatření. Například místo drátů použijte vlnovody – duté kovové konstrukce:

co jsme se naučili?

Induktor v obvodu střídavého proudu má reaktanci úměrnou frekvenci. První polovinu periody ukládá energii elektrického proudu ve formě magnetického pole a druhou polovinu periody vrací tuto energii elektrickému proudu. V tomto případě kolísání proudu v induktoru zaostává za kolísáním napětí o čtvrtinu periody.

Po zhlédnutí této videolekce studenti pochopí roli kondenzátoru a induktoru ve střídavém obvodu. Zjistěte, jaký odpor v obvodu střídavého proudu se nazývá reaktivní. Budou také formulovat Ohmův zákon pro úsek obvodu střídavého proudu.

Přehrávač: YouTube VKontakte

V tuto chvíli nemůžete sledovat ani distribuovat videolekci studentům

Chcete-li získat přístup k tomuto a dalším výukovým videím sady, musíte ji přidat do svého účtu.

Získejte neuvěřitelné příležitosti

1. Otevřete přístup ke všem videolekcím v sadě.

2. Distribuujte video lekce na osobní účty studentů.

3. Podívejte se na statistiky toho, jak studenti prohlížejí videolekce.
Získat přístup

Plán lekce “Kondenzátor a induktor ve střídavém obvodu”

Jak jsme diskutovali, v obvodu střídavého proudu obsahujícího aktivní odpor dochází ke stálým ztrátám energie doprovázeným uvolňováním tepla. V tomto případě lze množství tepla uvolněného na aktivní odpor, když jím prochází střídavý proud, vypočítat, jako v případě stejnosměrného proudu, podle Joule-Lenzova zákona:

Rychlá změna velikosti a směru střídavého proudu však způsobuje řadu rysů, které odlišují jeho působení od stejnosměrného proudu. Například střídavý proud není vhodný pro technické aplikace elektrolýzy. Jde o to, že Velikost střídavého proudu závisí nejen na napětí a odporu obvodu, ale také na indukčnosti vodičů obsažených v obvodu. To lze ověřit následujícím experimentem. Cívku obsahující velký počet závitů měděného drátu a ampérmetr zapojme do stejnosměrného obvodu.

Vezměme údaje z ampérmetru. Nyní do cívky vložíme železné jádro – proud se nemění.

Podívejme se, co se stane ve stejném obvodu, ale když se k němu připojí zdroj střídavého proudu s efektivním napětím rovným stejnosměrnému napětí.

Je snadné si všimnout, že se proud v cívce snížil. Zavedení železného jádra do cívky povede k ještě většímu oslabení proudu. Proto indukčnost střídavého obvodu snižuje velikost proudu.

Důvodem je samoindukční EMF, která se vyskytuje v obvodech střídavého proudu, což zabraňuje zvýšení proudu. Díky EMF samoindukce v okamžiku, kdy napětí v obvodu dosáhne maxima, proud nestihne dosáhnout hodnoty, které by dosáhl bez samoindukce.

Představme si například, že máme cívku, na které je navinuto 600 závitů měděného drátu o průměru 1 mm. Předpokládejme, že 150 metrů tohoto drátu šlo na tuto cívku. Pak na základě definice je jeho odpor přibližně 3,2 ohmu. Pokud ale změříte odpor této cívky ve střídavém obvodu s frekvencí 50 Hz, bude se rovnat přibližně 20 ohmům.

To nám říká Indukčnost ve střídavém obvodu působí ve vztahu k velikosti proudu stejným způsobem jako aktivní odpor.

Odpor, který má obvod v důsledku přítomnosti indukčnosti v něm, se nazývá indukční reaktance. Pojďme zjistit, na čem to závisí. Nechte tedy proudit střídavý proud v obvodu obsahujícím indukční cívku, jejíž síla se mění podle harmonického zákona:

Potom se EMF samoindukce bude rovnat součinu indukčnosti cívky a první derivace proudu s ohledem na čas, brané s opačným znaménkem:

Pokud je aktivní odpor cívky nulový, musí být síla elektrického pole uvnitř vodiče v každém okamžiku také nulová. Jinak by byl proud nekonečně velký (vyplývá to z Ohmova zákona). Rovnost nulové intenzity pole je možná, protože síla vírového elektrického pole generovaného střídavým magnetickým polem v každém bodě je stejná co do velikosti a opačného směru jako síla Coulombova pole vytvořeného ve vodiči náboji umístěnými na svorkách zdroje a ve vodičích obvodu.

V důsledku toho, specifická práce vírového pole (tj. EMF samoindukce) je stejná co do velikosti a opačného znaménka než specifická práce Coulombova pole.

Vzhledem k tomu, že specifická práce Coulombova pole se rovná napětí na koncích cívky, bude napětí v obvodu střídavého proudu opačné ve znaménku než samoindukční EMF:

Součin veličin před funkcí kosinus je amplituda napětí:

Přepišme rovnici pro okamžité napětí pomocí zavedené notace a také nahradíme kosinus sinem pomocí redukčního vzorce:

Z toho vyplývá, že kolísání napětí na cívce je před kolísáním proudu zapnuto π/ 2:

Vyjádřeme amplitudu proudu v cívce ze vzorce pro amplitudu napětí:

Veličina rovnající se součinu cyklické frekvence a indukčnosti cívky je indukční odpor:

Pak to můžeme napsat hodnota amplitudy proudu v obvodu se střídavým proudem obsahujícím pouze indukční cívku je přímo úměrná amplitudovému napětí a nepřímo úměrná indukční reaktanci.

Nyní určíme okamžitý výkon v tomto obvodu:

Jak vidíme, proud spotřebovaný ideální cívkou se periodicky mění s dvojnásobnou frekvencí a jeho průměrná hodnota za periodu je rovna nule, protože průměrná hodnota sinu dvojitého argumentu je rovna nule. Proto, stejně jako aktivní odpor, indukční odpor omezuje proud v obvodu, ale na rozdíl od aktivního odporu není elektrická energie nevratně přeměněna na jiné typy energie.

Nyní sestavme stejnosměrný obvod obsahující kondenzátor a žárovku zapojené do série. Uzavřením obvodu zjistíme, že v obvodu není žádný proud. To je zcela pochopitelné, protože desky kondenzátoru jsou od sebe odděleny izolátorem. Kondenzátorem tedy nemůže protékat stejnosměrný proud.

Nyní nahradíme stejnosměrný zdroj střídavým zdrojem. Světlo svítí. To lze vysvětlit docela jednoduše. V obvodu střídavého proudu provádějí elektrony oscilační pohyb. To má za následek, že se desky kondenzátoru nabíjejí střídavě kladně a pak záporně. Elektrony ve vodičích obvodu se pohybují jedním nebo druhým směrem a ohřívají vlákno lampy. Pokud vyjmete kondenzátor z obvodu, žárovka bude hořet jasněji. Proto přítomnost kondenzátoru ve střídavém obvodu zvyšuje odpor obvodu.

Odpor, který má obvod v důsledku přítomnosti kapacity v něm, se nazývá kapacitní reaktance.

Pojďme zjistit, na čem to závisí. Chcete-li to provést, zvažte obvod sestávající z generátoru střídavého napětí, kondenzátoru a vodičů, jejichž odpor je zanedbatelný.

Nechte napětí na kondenzátoru měnit se sinusově:

V důsledku toho se náboj kondenzátoru bude v průběhu času měnit podle sinusového zákona:

Najděte proud v obvodu jako první derivaci náboje s ohledem na čas:

Součin množství před funkcí sinus je amplituda proudu:

Přepišme předchozí rovnici s přihlédnutím k zavedeným zápisům a pomocí redukčního vzorce přejdeme od funkce kosinus k funkci sinus:

Z toho vyplývá, že kolísání síly proudu předbíhá ve fázi kolísání napětí na kondenzátoru o π/ 2:

Nyní přepišme rovnici pro aktuální amplitudu, jak je znázorněno na obrazovce:

Převrácená hodnota součinu kapacity kondenzátoru a cyklické frekvence je kapacitní reaktance:

Dosazením této rovnice do předchozí rovnosti to zjistíme špičková hodnota proudu v obvodu střídavého proudu obsahujícího pouze kondenzátor je přímo úměrná špičkovému napětí a nepřímo úměrná kapacitní reaktanci:

Nyní určíme okamžitý výkon v tomto obvodu:

Stejně jako v předchozím případě, pokud je v obvodu pouze kapacitní odpor, je frekvence změny výkonu dvojnásobkem frekvence změny proudu a jeho průměrná hodnota za dané období je nulová. V důsledku toho není elektrická energie na kapacitním odporu nevratně přeměněna na jiné formy. Proto se kapacitní a indukční odpor, na rozdíl od aktivního odporu, nazývá reaktivní.

Nyní uvažujme obvod obsahující všechny prvky: rezistor, induktor, kondenzátor a zdroj střídavého napětí.

Protože se elektromagnetické interakce šíří rychlostí světla, dochází ke změnám intenzity proudu téměř současně ve všech sériově zapojených prvcích obvodu. Kolísání okamžitých hodnot napětí na každém z prvků však není ve fázi s kolísáním síly proudu. Ale v každém okamžiku se součet okamžitých hodnot napětí na sériově zapojených prvcích obvodu rovná EMF zdroje:

Vzhledem k tomu, že oscilace proudu se shodují s aktivním odporem, vedou kapacitní odpor a zaostávají za oscilacemi napětí s indukčním odporem, lze poslední rovnost zapsat takto:

Amplitudu kolísání napětí v obvodu lze vyjádřit pomocí amplitudových hodnot napětí na jeho jednotlivých prvcích pomocí metody vektorových diagramů.

Hodnota amplitudy proudu v obvodu je ve fázi s hodnotou amplitudy napětí na rezistoru. Z tohoto diagramu lze zjistit amplitudu použitého napětí, která se rovná geometrickému součtu těchto amplitud.

Pomocí Pythagorovy věty vyjádříme druhou mocninu amplitudy oscilací napětí v obvodu:

Dále pomocí Ohmova zákona pro část obvodu vyjádříme hodnoty amplitudy napětí na pravé straně rovnosti prostřednictvím hodnoty amplitudy proudu a jalových odporů:

Vyjádřením hodnoty amplitudy síly proudu z výsledné rovnice získáme Ohmův zákon pro úsek střídavého obvodu:

Veličina ve jmenovateli vzorce se nazývá celkový odpor obvodu:

Volá se veličina v závorce pod kořenovým znakem reaktance.