HOM (modulace vyššího řádu)

Dané dva objekty A si B, Domů(A, B) je jednoduše sada funkcí mezi A si B. Od tohoto skromného začátku jsou věci rychle zajímavější.

Domácí sety

Aby byla výše uvedená definice přesná, musíme si říci, o jakých druzích objektů a o jakých druzích funkcí mluvíme. To znamená, že určíme kategorii C že objekt patří, a funkce jsou morfismy této kategorie [1]. Například v kontextu skupin Hom(A, B) by byla množina skupinových homomorfismů [2] mezi A si B, ale v kontextu souvislých skupin (skupiny lži) bychom omezili Hom(A, B) být nepřetržitý skupinové homomorfismy.

Chcete-li zdůraznit, že Hom odkazuje na sadu morfismů v určité kategorii, někdy uvidíte název kategorie jako dolní index, jako v Hom_C(A, B). Někdy uvidíte název kategorie jako náhradu za Hom jako v C(A, B). Můžete také vidět název kategorie v hranatých závorkách jako v [C](A, B).

Domácí funktory

Doposud byl Hom soubor, ale Hom uvidíte také jako funktora. Zde si notace vyžaduje trochu více výkladu. Můžete vidět velké H s objekty jako horní nebo dolní index:

Místo toho můžete také vidět malé písmeno h. A já použiji název kategorie místo „Hom“, abych do ní přidal i tuto variantu.

Vysvětlím, co to znamená, a poskytnu mnemotechnickou pomůcku pro zapamatování, která je která.

Působení na předměty

Pomlčka v domově (A, -) a Hom(-, A) znamená „sem vložte svůj objekt“. To je ono, Hom(A, –) vezme předmět B a mapuje jej na množinu morfismů Hom(A, B), a Hom(-, A) vezme předmět B domů (B, A).

Takže domů (A, -) a Hom(-, A) každý vezme předmět v kategorii C na množinu morfimů, tedy prvek v kategorii Sada. Ale to je jen polovina toho, co je potřeba k tomu být funktorem. Funktor nejen mapuje objekty v jedné kategorii na objekty v jiné kategorii, ale také mapuje morfismy v jedné kategorii na morfismy v druhé kategorii. (A dělá to způsobem, že interakce mezi mapami objektů a morfismy koherentně interagují.)

Působení na morfismy

Odkud přicházejí morfismy? Zjistili jsme co H A si H_A dělají s předměty, ale co dělají s morfismy?

Předpokládejme, že máme morfismus f: X → Y v kategorii C a funkci g v domově (A, X) domů (A, Y)? Pro každého g v domově (A, X), složení fg je prvkem Hom(A, Y).

Dále předpokládejme f: Y → X (všimněte si opačného pořadí) a funkce g v domově (X, A). Nyní složení gf je prvkem Hom(Y, A). Všimněte si, že předtím, než jsme se přihlásili f po g, ale zde předem skládáme s f, tedy uplatnit f před g.

Kromě zápisu je to, co se děje, velmi jednoduché. Pokud máte funkci od A na X a funkce od X na Y, pak složení dvou je funkce od A na Y. Podobně, pokud máte funkci od Y na X a funkce od X na A, složení je funkcí od Y na A.

Všimněte si, že H A je kovariantní funktor, ale H_A je kontravariantem. Více o kovariantu vs kontravariant níže.

Notační mnemotechnická pomůcka

Jak můžete udržet H A si H_A rovně? Je běžné používat zápis horním indexem Y X k označení sady funkcí z objektu horního indexu X k základnímu objektu Y. Možná jste to už viděli, i když si myslíte, že ne.

Označení Y² označuje součin Y s tím sami, jako např R² pro rovinu, tedy dvojice reálných čísel. Pár věcí dovnitř Y je funkce z dvouprvkové množiny do Y. Mohli byste myslet (y₁, y₂) jako výsledek mapování množiny (1, 2) do Y.

Možná jste také viděli zápis 2 X pro výkonovou sadu X, tj. množina všech podmnožin X. Můžete myslet na výkonovou sadu X je souborem map z X na booleovské hodnoty (true, false), kde prvek x je mapován na true tehdy a jen tehdy x je v této konkrétní podmnožině.

Použití notace H or h s horním indexem A znamená Home (A, -), tj. morfismy mimo A, což je v souladu s výše popsaným použitím. A tak ten druhý je ten druhý, tedy dolní index A znamená Home(-, A), tedy morfismy do A.

(Někteří autoři bohužel používají opak zde použité konvence, což celou mnemotechnickou pomůcku odpálí. Zde použitá konvence je ale nejčastější.)

Yoneda Lemma

Jsme blízko k tomu, abychom mohli vyslovit jednu z nejdůležitějších vět v teorii kategorií, Yonedovo lemma. (Lemmata se často ukáží jako užitečnější a známější než věta, k jejichž dokázání byla poprvé použita.) Takže když už jsme v sousedství, podíváme se na to.

Důsledek Yoneda Lemma říká:

Význam „Hom“ je vlevo a vpravo odlišný, protože se díváme na morfismy mezi různými druhy objektů. Vpravo máme sady morfismů v naší kategorii C jak je uvedeno výše. Levá strana má více vysvětlení.

Jaké věci jsou H A si H B ? Jsou to funktory z C nastavit. Třída funktorů mezi dvěma kategoriemi tvoří kategorii sama o sobě. Funktory jsou objekty v této nové kategorii a přirozené transformace jsou morfismy. Takže Hom je v tomto kontextu soubor přirozených transformací mezi těmito dvěma funktory.

Jaké věci jsou H_A si H_B? Jsou to kontravariantní funktory od C to Set a kategorii tvoří i kontravariantní funktory. Současná teorie kategorií však nerada mluví o kontravariančních funktorech, raději pracuje pouze s kovariantními funktory a ponechává termín „kovariantní“ implicitní. Tedy spíše než říkat H_A si H_B jsou kontravariantní funktory na C, většina současných autorů by řekla, že jde o (kovariantní) funktory v nové kategorii C op, kde „op“ znamená opak. to znamená, C op je kategorie se všemi stejnými objekty jako C, ale se všemi šípy otočenými. Každý morfismus z A na B in C odpovídá morfismu z B na A in C op.

Související příspěvky

• Kategorické produkty
• Proč je prázdný součet 0 a prázdný součin 1?
• Sedm dogmat teorie kategorií

[1] Morfismy jsou zobecněním funkcí. Morfismy jsou často funkce, ale nemusí být. Ale přesto to musí být věci, které se skládají jako funkce.

[2] Jméno Hom je zkrácené z „homomorfismu“. Různé oblasti matematiky mají různé názvy pro funkce zachovávající strukturu a teorie kategorií chtěla mít pro všechny jeden název. Použilo „Hom“ jako narážku na to, čemu se v teorii grup říká funkce zachovávající strukturu. Podobně je „morfismus“ také zkrácenou formou „homomorfismu“. Předpokládám, že cílem bylo použít názvy připomínající teorii skupin, ale dostatečně odlišné, aby čtenáři připomněly, že protějšky teorie kategorií jsou odlišné.

Mimochodem, „homomorfismus“ pochází z řeckých kořenů, které znamenají „podobný“ a „tvar“. Homomorfismus je funkce mezi podobnými objekty (objekty ve stejné kategorii), která zachovává strukturu (tvar).

Kategorie: Matematika
Uložte si permalink do záložek

John D. Cook, PhD

Moji kolegové a já máme desítky let zkušeností s poradenstvím, které pomáhá společnostem řešit složité problémy týkající se ochrany osobních údajů, aplikované matematiky a statistiky.

Pojďme si promluvit. Těšíme se, že prozkoumáme příležitost pomoci i vaší společnosti.

Modulace vyššího řádu (HOM) je technika používaná v digitálních komunikačních systémech ke zvýšení množství dat, která lze přenášet přes danou šířku pásma. V podstatě to zahrnuje kódování více než jednoho bitu dat do jednoho symbolu, což umožňuje zvýšenou spektrální účinnost. HOM se používá v široké řadě komunikačních systémů, včetně drátových a bezdrátových sítí, satelitní komunikace a optické komunikace.

V tomto článku poskytneme přehled HOM, včetně jeho základních principů, výhod a praktických aplikací. Probereme také některé problémy spojené s implementací HOM a některé techniky používané ke zmírnění těchto problémů.

Základní principy HOM

Základním principem HOM je kódování více bitů informace do jednoho symbolu. Počet bitů, které lze zakódovat do jediného symbolu, závisí na pořadí modulačního schématu. Například modulační schéma binárního klíčování fázovým posuvem (BPSK) kóduje jeden bit informace do každého symbolu, zatímco modulační schéma kvadraturního klíčování fázovým posuvem (QPSK) kóduje dva bity informace na každý symbol.

Abychom ilustrovali, jak HOM funguje, uvažujme příklad využívající modulaci QPSK. V QPSK každý symbol představuje jeden ze čtyř možných stavů, které jsou definovány fází a amplitudou signálu. Tyto čtyři stavy jsou typicky reprezentovány body na konstelačním diagramu, který je grafickým znázorněním možných stavů signálu.

V typickém schématu modulace QPSK každý symbol představuje dva bity informace, které jsou zakódovány fází signálu. Konkrétně čtyři možné stavy signálu odpovídají čtyřem možným kombinacím dvou bitů (00, 01, 10 a 11). Kódováním dvou bitů informace na každý symbol je QPSK schopen dosáhnout dvojnásobné spektrální účinnosti než BPSK, které do každého symbolu zakóduje pouze jeden bit informace.

Modulační schémata vyššího řádu mohou do každého symbolu zakódovat ještě více bitů informace. Například modulační schéma 8PSK kóduje tři bity informace do každého symbolu, zatímco modulační schéma 16QAM kóduje čtyři bity informace do každého symbolu.

Výhody HOM

Hlavní výhodou HOM je, že umožňuje zvýšenou spektrální účinnost. Zakódováním více bitů informace do jednoho symbolu umožňuje HOM přenos více dat přes danou šířku pásma. To je zvláště důležité v aplikacích, kde je omezená šířka pásma, jako je bezdrátová komunikace a satelitní komunikace.

Další výhodou HOM je, že může zlepšit robustnost komunikačního systému. Konkrétně, protože HOM kóduje více bitů informace do jediného symbolu, je poměr signálu k šumu (SNR) požadovaný pro správné dekódování symbolu vyšší než u modulačních schémat nižšího řádu. To znamená, že schéma HOM je méně náchylné na šum a další zdroje rušení.

Praktické aplikace HOM

HOM se používá v široké řadě komunikačních systémů, včetně drátových a bezdrátových sítí, satelitní komunikace a optické komunikace. Některé specifické aplikace HOM zahrnují:

Bezdrátové sítě: HOM se běžně používá v bezdrátových sítích, jako jsou Wi-Fi a celulární sítě, ke zvýšení množství dat, která lze přenášet přes danou šířku pásma. Například standard Wi-Fi 802.11n používá modulaci 64QAM, která do každého symbolu zakóduje šest bitů informací.

Satelitní komunikace: HOM se také používá v satelitní komunikaci ke zvýšení množství dat, která lze přenášet omezenou šířkou pásma. Například standard DVB-S2 (Digital Video Broadcasting-Satellite Second Generation) používá modulační schémata 8PSK a 16APSK ke zvýšení spektrální účinnosti.

Optická komunikace: HOM se používá v optické komunikaci ke zvýšení množství dat, která lze přenášet přes optická vlákna. Například koherentní optické komunikační systémy používané v dálkových optických sítích často využívají HOM k dosažení vysokých datových rychlostí. Použití HOM v optických komunikacích je zvláště důležité, protože optická vlákna mají mnohem větší šířku pásma než bezdrátové nebo satelitní komunikace, takže zvýšená spektrální účinnost poskytovaná HOM je nezbytná pro plné využití dostupné šířky pásma.

Výzvy HOM

Implementace HOM v komunikačním systému může být náročná, zvláště když se zvyšuje pořadí modulačního schématu. Některé z výzev spojených s HOM zahrnují:

Složitost: Schémata modulace vyššího řádu jsou složitější než schémata nižšího řádu, a to jak z hlediska procesů kódování, tak dekódování. Tato složitost může ztížit implementaci HOM v komunikačním systému.

Citlivost na hluk: Protože HOM vyžaduje pro správné dekódování symbolů vyšší SNR, je citlivější na šum a další zdroje rušení. To znamená, že schémata HOM mohou vyžadovat sofistikovanější techniky opravy chyb a detekce, aby byla zachována spolehlivá komunikace.

Nelineární zkreslení: HOM může být náchylný k nelineárnímu zkreslení v přenosovém médiu, zejména v bezdrátové a optické komunikaci. Toto zkreslení může způsobit chyby v dekódovaných symbolech, které mohou snížit celkový výkon komunikačního systému.

Zmírnění výzev

Existuje několik technik, které lze použít ke zmírnění problémů spojených s HOM. Patří sem:

Oprava a detekce chyb: Ke zlepšení spolehlivosti schémat HOM lze použít sofistikované techniky korekce chyb a detekce. Tyto techniky mohou zahrnovat dopřednou korekci chyb (FEC) a detekci maximální věrohodnosti.

Adaptivní modulace: Adaptivní modulační schémata lze použít k dynamickému nastavení pořadí modulačního schématu na základě kvality komunikačního kanálu. To může pomoci udržet spolehlivou komunikaci i v přítomnosti šumu a jiných zdrojů rušení.

Vyrovnání: Techniky ekvalizace lze použít ke zmírnění nelineárního zkreslení v přenosovém médiu. Tyto techniky mohou zahrnovat algoritmy digitálního zpracování signálu (DSP), které upravují fázi a amplitudu přijímaného signálu.

Proč investovat do čističky vzduchu?

Modulace vyššího řádu je technika používaná v digitálních komunikačních systémech ke zvýšení množství dat, které lze přenášet přes danou šířku pásma. HOM kóduje více bitů informace do jediného symbolu, což umožňuje zvýšenou spektrální účinnost. HOM se používá v široké řadě komunikačních systémů, včetně drátových a bezdrátových sítí, satelitní komunikace a optické komunikace. Implementace HOM v komunikačním systému však může být náročná kvůli jeho složitosti, citlivosti na šum a náchylnosti k nelineárnímu zkreslení. Techniky, jako je oprava a detekce chyb, adaptivní modulace a ekvalizace, lze použít ke zmírnění těchto problémů a ke zlepšení spolehlivosti schémat HOM.