Délka obvodu, plocha oblouku, výseč kružnice, číslo úsečky pí

DEFINICE 1. Plocha kruhu je limit, ke kterému mají plochy pravidelných mnohoúhelníků vepsaných do kruhu tendenci, když se počet stran neomezeně zvětšuje.

DEFINICE 2. Obvod je mez, ke které tíhnou obvody pravidelných mnohoúhelníků vepsaných do kruhu, s neomezeným nárůstem počtu stran.

POZNÁMKA 1. Důkaz, že limity ploch a obvodů pravidelných mnohoúhelníků vepsaných do kruhu skutečně existují s neomezeným nárůstem počtu stran, přesahuje rámec školní matematiky a není uveden v naší příručce.

DEFINICE 3. Číslo π (pi) je číslo rovné ploše kruhu o poloměru 1.

POZNÁMKA 2. Číslo π je číslo iracionální, tzn. číslo, které je vyjádřeno jako nekonečný neperiodický desetinný zlomek:

Číslo π je transcendentální číslo, tedy číslo, které nemůže být kořenem algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty.

Vzorce pro oblast kruhu a jeho částí

R – poloměr kruhu, D – průměr kruhu

Zde je úhel α vyjádřen v radiánech

Zde je úhel α vyjádřen ve stupních

Zde je úhel α vyjádřen v radiánech

Zde je úhel α vyjádřen ve stupních

Vzorce pro obvod kruhu a jeho oblouky

R – poloměr kruhu, D – průměr kruhu

Zde je úhel α vyjádřen v radiánech

Zde je úhel α vyjádřen ve stupních

Oblast kruhu

Uvažujme dvě kružnice se společným středem (soustředné kružnice) a poloměry 1 a R, do každé z nich je vepsán pravidelný n-úhelník (obr. 1).

Označme O společný střed těchto kružnic. Nechť má vnitřní kruh poloměr 1.

Protože jak se n zvětšuje, plocha pravidelného n-úhelníku vepsaného do kruhu o poloměru 1 má tendenci k π, pak jak se n zvětšuje, plocha pravidelného n-úhelníku vepsaného do kruhu o poloměru R má tendenci číslo πR 2.

Oblast kruhu o poloměru R, označeném S, je tedy

Obvod

Uvažujme pravidelný n-úhelník B₁B₂. B_n , vepsané do kružnice o poloměru R, a pusťte kolmice ze středu O kružnice na všechny strany mnohoúhelníku (obr. 2).

pak, když označíme obvod kružnice o poloměru R písmenem C, dostaneme v souladu s definicí 2, jak n narůstá, rovnost:

ze kterého vyplývá vzorec pro délku kružnice o poloměru R:

VYŠETŘOVÁNÍ. Obvod kružnice o poloměru 1 je 2π.

Délka oblouku

Uvažujme oblouk kruhu znázorněný na obrázku 3 a jeho délku označíme symbolem L(α), kde písmeno α označuje hodnotu odpovídajícího středového úhlu.

V případě, že je hodnota α vyjádřena ve stupních, platí podíl

z čehož plyne rovnost:

V případě, že je hodnota α vyjádřena v radiánech, platí podíl

z čehož plyne rovnost:

Sektorová oblast

Zvažte kruhový sektor zobrazený na obrázku 4 a označte jeho plochu symbolem S (α), kde písmeno α označuje hodnotu odpovídajícího středového úhlu.

V případě, že je hodnota α vyjádřena ve stupních, platí podíl

z čehož plyne rovnost:

V případě, že je hodnota α vyjádřena v radiánech, platí podíl

z čehož plyne rovnost:

Oblast segmentu

Uvažujme kruhový segment zobrazený na obrázku 5 a označme jeho plochu symbolem S (α), kde písmeno α označuje hodnotu odpovídajícího středového úhlu.

Protože plocha segmentu je rovna rozdílu mezi plochami kruhového sektoru MON a trojúhelníku MON (obr. 5), pak v případě, kdy je hodnota α vyjádřena ve stupních, získáme

V případě, kdy je hodnota α vyjádřena v radiánech, dostáváme

Příručka matematiky pro školáky

• Aritmetika
• Algebra
• Trigonometrie
• Geometrie (planimetrie)
• Geometrie (stereometrie)
• Základy matematické analýzy
• Pravděpodobnost a statistika

Geometrie (planimetrie)

• Základní tvary planimetrie
  • Obrazce, které tvoří základ planimetrie
  • Úhly na rovině
  • Теорема Фалеса
  • Úhly spojené s kruhem
  • Znaky rovnoběžných čar
  • Typy trojúhelníků. Značky rovnosti trojúhelníků
  • Vlastnosti a znaménka rovnoramenného trojúhelníku
  • Vlastnosti a znaménka pravoúhlého trojúhelníku
  • Vlastnosti stran a úhlů trojúhelníku
  • Podobnost trojúhelníků
  • Pythagorova věta. Kosinová věta
  • Osa trojúhelníku
  • Medián trojúhelníku
  • Výška trojúhelníku. Problém s Fagnanem
  • Středy trojúhelníku
  • Cevova věta
  • Menelaova věta
  • Opsaná kružnice. Věta o sinech
  • Vzorce pro stranu, obvod a plochu pravidelného trojúhelníku
  • Oblast trojúhelníku
  • Kruh vepsaný do trojúhelníku. Hlavní vlastnost úhlové osy
  • Excircles
  • Čtyřúhelníky
  • Rovnoběžníky
  • Trapéz
  • Čtyřúhelníky vepsané do kruhu. Ptolemaiova věta
  • Opsané čtyřúhelníky
  • Plochy čtyřúhelníků
  • Polygony
  • Pravidelné mnohoúhelníky
  • Úhly spojené s kruhem
  • Segmenty a čáry spojené do kruhu. Motýlí teorém
  • Dva kruhy v rovině. Společné tečny dvou kružnic
  • Plocha kruhu a jeho části. Délka kruhu a jeho oblouky
  • Kruh opsaný kolem trojúhelníku. Věta o sinech
  • Kruh vepsaný do trojúhelníku. Hlavní vlastnost úhlové osy
  • Excircles
  • Čtyřúhelníky vepsané do kruhu. Ptolemaiova věta
  • Opsané čtyřúhelníky
  • Plochy čtyřúhelníků
  • Oblast trojúhelníku
  • Odvození Heronových a Brahmaguptových vzorců
  • Středové čáry
  • Geometrické umístění bodů v rovině
  • Pohyby letadla. Challova věta. Afinní transformace roviny

  Učební pomůcky pro školáky

  • Problémy s procenty
  • Čtvercový trojčlen
  • Rovinná souřadnicová metoda
  • Postup
  • Řešení algebraických rovnic
  • Řešení iracionálních nerovností
  • Řešení logaritmických nerovností
  • Řešení logaritmických rovnic
  • Řešení exponenciálních nerovností
  • Řešení exponenciálních rovnic
  • Řešení racionálních nerovností
  • Řešení goniometrických rovnic
  • Mocnina s racionálním exponentem
  • Soustavy rovnic
  • Trigonometrie v Jednotné státní zkoušce z matematiky
  • Rovnice a nerovnice s moduly
  • Obrazce na souřadnicové rovině definované nerovnostmi

  Demoverze jednotné státní zkoušky

  • Demoverze jednotné státní zkoušky v angličtině
  • Demonstrační verze jednotné státní zkoušky z biologie
  • Demonstrační verze Jednotné státní zkoušky ze zeměpisu
  • Demoverze jednotné státní zkoušky z informatiky
  • Demoverze jednotné státní zkoušky ve španělštině
  • Demonstrační verze Jednotné státní zkoušky v historii
  • Demoverze jednotné státní zkoušky v čínštině
  • Demonstrační verze jednotné státní zkoušky z literatury
  • Demoverze jednotné státní zkoušky z matematiky
  • Demoverze jednotné státní zkoušky v němčině
  • Demonstrační verze jednotné státní zkoušky ze sociálních studií
  • Demoverze jednotné státní zkoušky v ruštině
  • Demoverze jednotné státní zkoušky z fyziky
  • Demoverze jednotné státní zkoušky ve francouzštině
  • Demoverze jednotné státní zkoušky z chemie
  • Závěrečná esej (prezentace) v 11. ročníku

  Demo verze OGE

  • Demo verze OGE v angličtině
  • Demonstrační verze OGE v biologii
  • Demonstrační verze OGE v geografii
  • Demo verze OGE v informatice
  • Demo verze OGE ve španělštině
  • Demonstrační verze OGE v historii
  • Demonstrační verze OGE v literatuře
  • Demo verze OGE v matematice
  • Demo verze OGE v němčině
  • Demonstrační verze OGE v sociálních studiích
  • Demo verze OGE v ruském jazyce
  • Demo verze OGE ve fyzice
  • Demo verze OGE ve francouzštině
  • Demonstrační verze OGE v chemii
  • Závěrečný pohovor v ruském jazyce v 9. třídě
  • А главную страницу
  • Naši partneři
  • Mapa stránek

  

  © “Resolventa – vzdělávací materiály”, 2009-2025